【人教版】高中数学必修第二册 (A版): 随机试验与样本空间的集合化表达

随机试验 (Random Trial)：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母 $E$ 表示。在试验中，每一个可能的结果被称为样本点 (Sample Point)，而全体样本点的集合称为样本空间 (Sample Space)，通常用 $\Omega$ 表示。

核心概念解析

在概率论中，我们使用集合语言来描述偶然现象。如果一个试验的所有可能结果只有有限个，我们称其为有限样本空间。例如：

抛掷硬币：$\Omega = \{h, t\}$
抛掷两枚硬币：$\Omega = \{(\text{正面, 正面}), (\text{正面, 反面}), (\text{反面, 正面}), (\text{反面, 反面})\}$

此外，统计推断在现实中非常重要，例如身体质量指数 (BMI) 的研究。中国成人的标准为：$BMI < 18.5$ 为偏瘦；$18.5 \le BMI < 24$ 为正常；$24 \le BMI < 28$ 为偏胖；$BMI \ge 28$ 为肥胖。

样本具有随机性，由此样本估计总体时，所作出的统计推断结果具有或然性，这是运用统计结果解释实际问题时需要注意的。

$$BMI=\frac{\text{体重 (kg)}}{\text{身高}^2 (\text{m}^2)}$$

QUESTION 1

抛掷一枚质地均匀的骰子，其样本空间 $\Omega$ 的样本点个数为？

QUESTION 2

下列关于随机试验的说法正确的是？

试验的结果在发生前是确定的

全体样本点的集合称为样本空间

样本点就是随机事件

抛掷一枚硬币两次，样本点共有 2 个

QUESTION 3

写出随机试验“记录一名同学的性别”的样本空间。

$\Omega = \{\text{男}, \text{女}\}$

$\Omega = \{\text{学生}\}$

$\Omega = \{\text{男}\}$

$\Omega = \{1, 0\}$

QUESTION 4

在一个有两个小孩的家庭中，观察两个孩子的性别，样本空间 $\Omega$ 是？

{(男, 男), (女, 女)}

{(男, 男), (男, 女), (女, 男), (女, 女)}

{2男, 1男1女, 2女}

{(男, 女)}

QUESTION 5

某人射击靶子 3 次，观察中靶的次数。该试验的样本空间为？

{中靶, 脱靶}

{0, 1, 2, 3}

{1, 2, 3}

{0, 3}

QUESTION 6

体育彩票摇奖时，从标有 0-9 的 10 个球中摇出一个。这个试验共有多少种可能结果？

无穷多个

QUESTION 7

对于并联电路（元件 A, B 并联），事件 N = “电路是断路”包含的样本点是？（1代表正常，0代表失效）

{(1, 1)}

{(1, 0), (0, 1)}

{(0, 0)}

{(1, 1), (1, 0), (0, 1)}

QUESTION 8

下列关于 BMI 的说法错误的是？

BMI 是身体质量指数的缩写

BMI = 体重 / 身高

BMI ≥ 28 为肥胖

18.5 ≤ BMI < 24 为正常

QUESTION 9

抛掷两枚硬币，出现“一正一反”的概率是？

0.25

0.5

0.75

QUESTION 10

如果一组数据的中位数比平均数小很多，说明数据中可能存在？

异常的小值

异常的大值

众数

频率分布均匀

综合案例与逻辑挑战

任务 1

[Writing Task] 员工 BMI 统计分析报告

根据某公司 90 名男员工和 50 名女员工的 BMI 数据（男：23.5, 21.6, 30.6... 女：21.8, 18.2, 25.2...），请撰写一份统计报告。字数要求：不少于 200 字。

参考范文：
1. 数据展示：建议使用频率分布直方图分别展示男、女员工 BMI 分布，或使用箱线图对比。根据数据，计算男员工 BMI 均值约为 24.2，女员工约为 22.5。
2. 差异比较：男员工偏胖（BMI ≥ 24）的比例明显高于女员工，且肥胖（BMI ≥ 28）现象多集中在男员工群体中；女员工大部分处于正常区间，部分存在偏瘦情况。
3. 整体分析：公司员工整体健康状况尚可，但男性群体面临较高的超重风险，可能与久坐办公室或缺乏运动有关。
4. 建议：公司可增加茶歇时间的伸展运动，食堂应标注菜品热量，并定期组织羽毛球或跑步比赛，鼓励男员工控制体重。

任务 2

统计学基础回顾

请简述：(1) 频率分布直方图能提供什么信息？(2) 平均数、中位数、众数各有什么特点？(3) 方差与标准差刻画什么？

参考答案：
(1) 直方图：可以直观观察数据的集中趋势、波动范围以及分布形态（如是否对称）。
(2) 集中趋势：平均数反映平均水平，受极端值影响大；中位数是中间位置数，抗干扰性强；众数反映最频繁出现的数据。
(3) 离散程度：方差和标准差反映数据波动的大小。数值越大，说明数据偏离中心程度越高，越不稳定。

任务 3

两枚硬币游戏公平吗？

游戏规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面，甲胜；一正一反，乙胜。判断并说明理由。

解析：
该游戏是公平的。
样本空间 $\Omega = \{(h, h), (h, t), (t, h), (t, t)\}$，共 4 个样本点。
甲胜的事件 $A = \{(h, h), (t, t)\}$，包含 2 个样本点，概率 $P(A) = 2/4 = 0.5$。
乙胜的事件 $B = \{(h, t), (t, h)\}$，包含 2 个样本点，概率 $P(B) = 2/4 = 0.5$。
由于 $P(A) = P(B)$，故游戏公平。

任务 4

关于频率与概率的论述

“用事件 A 发生的频率 $f_n(A)$ 估计概率 $P(A)$，重复试验次数 $n$ 越大，估计就越精确。” 这种说法正确吗？请举例说明。

解析：
这种说法是正确的。 随着试验次数 $n$ 的增加，随机事件发生的频率 $f_n(A)$ 会表现出稳定性，即逐渐趋近于其概率 $P(A)$。
举例：抛掷一枚均匀硬币。抛 10 次可能 7 次正面（频率 0.7）；抛 1000 次，正面次数通常会在 500 左右波动（频率接近 0.5）；抛 100,000 次时，频率会非常稳定在 0.5 附近。这被称为大数定律的直观体现。